Question

1определите можно ли описать окружность вокруг четырехугольника abcd, если углы abcd равны соответственно : а) 90°, 90°, 20°, 160° б) 5°, 125°, 175°, 60° 2 найдите неизвестные углы: а) вписанного четырехугольника, если 2 из них равны 46° и 125° б) вписанной трапеции если один из них равен 80° в) вписанного четырехугольника диагонали которого точкой пересечения делятся пополам 3 найдите периметр: а) описанного четырехугольника, 3 последовательные стороны которого равны 7см, 9см, 8см б) описанной трапеции, боковые стороны которой равны 3см и 11см

Answer 1

ЗАДАНИЕ 1 

Определите можно ли описать окружность вокруг четырехугольника ABCD, если углы ABCD равны соответственно : 
а) 90°, 90°, 20°, 160°
нет. Вокруг четырёхугольника описать окружность можно тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°
90+20 = 110 - всё, невозможно.
б) 5°, 125°, 175°, 60° 
5+175 = 180 - хорошо
125+60 = 185 - да это вообще не четырёхугольник!

ЗАДАНИЕ 2 

Найдите неизвестные углы:
а) вписанного четырехугольника, если 2 из них равны 46° и 125°
46+x = 180
x = 134°
125+y = 180
y = 55°
б) вписанной трапеции если один из них равен 80°
x+80 = 180
x = 100°
углы при одной боковой стороне в сумме дают 180
Итого - все 4 угла таковы - 80, 100, 100, 80
в) вписанного четырехугольника диагонали которого точкой пересечения делятся пополам
все 4 угла по 90°
Если диагонали точкой пересечения делятся пополам, то перед нами параллелограмм. Т.к. он вписан в окружность, то противоположные углы в сумме дают 180 градусов. А в параллелограмме противоположные углы равны.

ЗАДАНИЕ 3

Найдите периметр:
а) описанного четырехугольника, 3 последовательные стороны которого равны 7см, 9см, 8см
На рисунке трапеция с длиной сторон 6,7,9,8
Каждую сторону представим как сумму длин двух отрезков - от одной вершины до точки касания и от другой вершины до точки касания окружности.
Видно, что прямоугольные треугольники на соседних рёбрах фигуры попарно равны по трём сторонам - одна сторона общая, вторая сторона - радиус вписанной окружности, и третья сторона в прямоугольном треугольнике может быть вычислена по теореме Пифагора от двух известных сторон - тоже совпадает.
7 = x+y
9= y+z
8 = z+t
d = x+t = 7+8-9 = 6 см
б) описанной трапеции, боковые стороны которой равны 3см и 11см
P = 2*(3+11) = 28 см
В описанной трапеции сумма длин оснований равна сумме длин сторон
Для доказательства этого факта подходит рисунок к пункту. Длина боковых сторон складывается из четырёх слагаемых - x+y+z+t.
Но длина оснований складывается из них же - x+y+z+t