Відповідь:
До кола з центром у точці О з точки А поза колом проведено дві дотичні AB i AC (точки В і С - точки дотику).Вiдрiзок АО вдвічі більший за радіус кола.
Знайдіть кут ВАС.
Дотичною до кола називається пряма, що має з колом одну спільну точку.
Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному до точки дотику.
ВО⟂АВ, СО⟂АС.
=> △АВО і △АСО - прямокутні.
В прямокутному трикутнику катет, що дорівнює половині гіпотенузи, лежить навпроти кута кута 30°.
=> ∠САО=30°.
△АВО=△АСО за гіпотенузою і катетом (АО - спільна, ВО=СО як радіуси).
=> ∠ВАС=∠САО, то ∠ВАС=∠ВАС+∠САО=30°+30°=60°.
=> ∠ВАС=60° => геометричне місце точок рівновiддалених від сторiн кута, є бісектриса цього кута
Пояснення:
Для розв'язання цієї задачі використаємо теорему про те, що кут між дотичною і радіусом кола, проведеним до точки дотику, є прямим кутом.
Позначимо точку перетину відрізків ВС і АО як К.
Оскільки ОВ = 10 см і кут ВАС = 60º, тоді ОА = ОС = 10 см (Оскільки ОВ - радіус кола).
Оскільки ОА = ОС, то кути ОАК і ОСК також дорівнюють 60º кожен (кути при основі рівнобедреного трикутника).
Отже, трикутник ОАК є рівностороннім.
Також, відповідно до теореми, кути ВАК і САК є прямими кутами.
Тепер розглянемо геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута ВАС.
Припустимо, що X - точка на геометричному місці. Тоді відстань від X до сторони ВА дорівнює відстані від X до сторони СА.
Оскільки ОАК є рівностороннім трикутником, то ОX = AX.
Також, відстань від X до сторони ВС дорівнює відстані від X до сторони СК.
Оскільки ВС - дотична, то кут ВКС є прямим кутом. Тому відрізок ВК є висотою трикутника ВКС, що проходить через вершину К.
Отже, відрізок ВК є середньою лінією в рівнобедреному трикутнику ВКС і ділить сторону СК навпіл.
З цього випливає, що ОК = КС.
Таким чином, ми довели, що для кожної точки X, розташованої на геометричному місці точок, рівновіддалених від сторін кута ВАС, відрізок ОК є середньою лінією в рівнобедреному трикутнику ОКС і ділить сторону СК навпіл.
Таким чином, геометричне місце точок рівновіддалених від сторін кута ВАС є бісектрисою цього кута.