1.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;2;3) и B(-3;-2;-1) и начало координат. Для составления уравнения плоскости используем формулу:
(x -1)((-4)·(-3)-(-4)·(-2)) - (y -2)((-4)·(-3)-(-4)·(-1)) + (z -3)((-4)·(-2)-(-4)·(-1)) = 0 4(x - 1) + (-8)(y - 2) + 4(z - 3) = 0 4x - 8y + 4z = 0 или, сократив на 4: x - 2y + z = 0.
Эту же задачу можно решить через систему линейных уравнений:
Уравнение плоскости: A · x + B · y + C · z + D = 0 . Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему: {A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0 , {A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0 , {A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0 . Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом: {A · (1) + B · (2) + C · (3) + D = 0 , {A · (-3) + B · (-2) + C · (-1) + D = 0 , {A · (0) + B · (0) + C · (0) + D = 0 .
Получим уравнение плоскости: 1 · x - 2 · y + 1 · z = 0 .
2. Вычислить площадь треугольника с вершинами A=(−4;4;4), B=(3;1;0), C=(−1;0;6). По координатам вершин находим длины сторон треугольника, далее полупериметр р, и по формуле Герона - площадь. a(ВС) b(АС) c(АВ) p 2p S 7,28011 5,38516 8,602325 10,6338 21,2676 19,5.
точки A(1;2;3) и B(-3;-2;-1) и начало координат.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
|x -x1 y -y1 z - z1 |
|x2 - x1 y2 -y1 z2 - z1| = 0
|x3 -x1 y3 - y1 z3 - z1|
|x - 1 y - 2 z - 3 |
|(-3) - 1 (-2) - 2 (-1) - 3| = 0
|0 - 1 0 - 2 0 - 3 |
|x - 1 y - 2 z -3 |
|-4 -4 -4 | = 0
|-1 -2 -3 |
(x -1)((-4)·(-3)-(-4)·(-2)) - (y -2)((-4)·(-3)-(-4)·(-1)) + (z -3)((-4)·(-2)-(-4)·(-1)) = 0
4(x - 1) + (-8)(y - 2) + 4(z - 3) = 0
4x - 8y + 4z = 0 или, сократив на 4:
x - 2y + z = 0.
Эту же задачу можно решить через систему линейных уравнений:
Уравнение плоскости:
A · x + B · y + C · z + D = 0 .
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
{A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0 ,
{A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0 ,
{A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0 .
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
{A · (1) + B · (2) + C · (3) + D = 0 ,
{A · (-3) + B · (-2) + C · (-1) + D = 0 ,
{A · (0) + B · (0) + C · (0) + D = 0 .
Получим уравнение плоскости:
1 · x - 2 · y + 1 · z = 0 .
2. Вычислить площадь треугольника с вершинамиA=(−4;4;4), B=(3;1;0), C=(−1;0;6).
По координатам вершин находим длины сторон треугольника, далее полупериметр р, и по формуле Герона - площадь.
a(ВС) b(АС) c(АВ) p 2p S
7,28011 5,38516 8,602325 10,6338 21,2676 19,5.