11 класс. Вершина правильного D тетраэдра DABC является центром сферы, на поверхности которого лежат точки A, B и C. Высота тетраэдра равна 2 корня из 6 см. Найдите площадь сферы.
Для решения данной задачи, мы можем использовать свойства правильного тетраэдра и формулу для площади поверхности сферы.
Дано:
- Вершина D является центром сферы, на поверхности которого лежат точки A, B и C.
- Высота тетраэдра равна 2 корня из 6 см.
Используем свойство правильного тетраэдра:
- Высота правильного тетраэдра является биссектрисой угла между любыми двумя сторонами, выходящими из вершины, которая лежит на оси симметрии тетраэдра.
Таким образом, высота тетраэдра является биссектрисой угла между сторонами AD и BD. Обозначим этот угол через α.
Поскольку AD и BD являются радиусами сферы, а высота тетраэдра - биссектрисой этого угла, имеем:
AB/AD = AB/BD = cos(α/2)
Так как треугольник ABD является равносторонним, где каждая сторона равна 2 корня из 6 см, то AB = 2 корня из 6 см.
Тогда посчитаем cos(α/2):
cos(α/2) = AB/AD = (2 корня из 6) / AD
Теперь можно найти AD. Поскольку высота тетраэдра является биссектрисой угла, то AD = h / sin(α/2), где h - высота тетраэдра (2 корня из 6 см), а α - угол между сторонами AD и BD.
AD = (2 корня из 6) / sin(α/2)
Далее, для нахождения площади сферы будем использовать формулу:
S = 4πR², где S - площадь поверхности сферы, R - радиус сферы.
По свойству правильного тетраэдра, AD является радиусом сферы. Таким образом, находим R:
R = AD = (2 корня из 6) / sin(α/2)
Итак, R = (2 корня из 6) / sin(α/2).
Теперь можем найти площадь сферы:
S = 4πR² = 4π((2 корня из 6) / sin(α/2))² = 4π(4*6/(sin²(α/2)) = 24π/(sin²(α/2))
В итоге, площадь поверхности сферы равна 24π/(sin²(α/2)).
Решение данной задачи может быть сделано более подробно и точно, но такое объяснение должно быть понятно ученику 11 класса.
