Question

Дослідити функцію f(x) = х^4 - 12x^2+ 27 та побудувати і графік
100 б)

Answer 1

Для дослідження функції f(x) = x^4 - 12x^2 + 27 спочатку знайдемо її похідні та точки екстремуму.

1. Обчислення похідної:

f'(x) = 4x^3 - 24x

2. Знаходження точок екстремуму:

f'(x) = 0

4x^3 - 24x = 0

4x(x^2 - 6) = 0

Звідси отримуємо дві критичні точки:

x₁ = 0

x₂ = ±√6

3. Визначення значень функції в критичних точках та в кінцях області:

f(x₁) = f(0) = 0^4 - 12(0)^2 + 27 = 27

f(x₂) = f(√6) ≈ -12.73

f(-√6) ≈ -12.73

4. Знаходження інтервалів зростання та спадання:

Знайдемо знаки похідної на різних інтервалах:

-∞ < x < -√6: f'(x) < 0, функція спадає

-√6 < x < 0: f'(x) > 0, функція зростає

0 < x < √6: f'(x) > 0, функція зростає

√6 < x < +∞: f'(x) < 0, функція спадає

5. Виведення результатів та побудова графіку:

- Критичні точки: x₁ = 0, x₂ = ±√6

- Значення функції в критичних точках: f(0) = 27, f(√6) ≈ -12.73, f(-√6) ≈ -12.73

- Інтервали зростання: (-√6, 0) і (0, √6)

- Інтервали спадання: (-∞, -√6) і (√6, +∞)

Графік функції f(x) = x^4 - 12x^2 + 27 буде мати такий вигляд:

   ^

   |

   |                   /

   |                /

   |             /

   |          /

   |      /

   |  /

   |/

   +>

                                            x

Будь ласка, зверніть увагу, що візуалізація графіку краще робиться на графічному інструменті, такому як графічний калькулятор аб

о програма для побудови графіків.

надеюсь правельно понял задание