Question

∫sinx/корень 5 степени 1+cosx dx решите, , надо

Answer 1

$\int\limits { \frac{sinx}{ \sqrt[5]{1+cosx} } } \, dx$

Загоним синус под дифференциал, для этого вспомним, что первообразная от синуса равна минус косинус:
$sinx *dx = -d(cosx)$
В знаменателе корень пятой степени перепишем в виде степенной функции:

$\sqrt[5]{1+cosx} } = (1+cosx)^{ \frac{1}{5} }$

Интеграл примет вид:
$\int\limits { \frac{sinx}{ \sqrt[5]{1+cosx} } } \, dx = -\int\limits { \frac{d(cosx)}{ (1+cosx)^{ \frac{1}{5} }} = - \int\limits { (1+cosx)^{- \frac{1}{5} } d(cosx) =$

В дифференциале можно приплюсовать 1, от этого ничего не изменится, т.к. производная константы равна 0.

$= - \int\limits { (1+cosx)^{ -\frac{1}{5} } d(1+cosx) = - \frac{1}{-\frac{1}{5} +1} (1+cosx)^{ -\frac{1}{5} +1} =$

Табличный интеграл от степенной функции:
$= - \frac{5}{4} (1+cosx)^{ \frac{4}{5}} +C$