Для наглядности удобно провести некоторое соответствие с трехмерным пространством
Понятно что z(x,y) можно в нем изобразить как некоторую поверхность
Точке (1,4) соответствует 
, т.е. точка 
(*)
Линию 
удобнее записать как трехмерную кривую 
, что будет пересекать поверхность z(x,y) при x=1
Запишем уравнение касательной к этой кривой в точке , в качестве параметра берем переменную x
(#)
(вычисляется по аналогии с 
)
В прикрепленном файле нарисована поверхность, кривая и касательная.
Зная уравнение касательной, построим единичный вектор в направлении убывания x:
Пусть x=0, тогда из (#) получим точку 
Соотв. единичный вектор в направлении этой точки из (*) имеет вид
Понятно что z компонента никак не повлияет на значение производной по направлению, формально вектор можно записать как
И, наконец, найдем искомую производную:
![grad[z(M_0)]\cdot\overset{\rightharpoonup }{n}=\left\{e^4,1 \cdot e^4\right\} \cdot \{-1,4\}\cdot\frac{1}{\sqrt{17} } = \frac{3 e^4}{\sqrt{17}} \approx 39.726](/tpl/images/0992/5590/2e9d7.png)
ответ: 1. Область допустимых значений переменной:
1 - cosx ≠ 0;
cosx ≠ 1;
x ≠ 2πk, k ∈ Z.
2. Разложим на множители разность синусов по формуле:
sina - sinb = 2sin((a - b)/2) * cos((a + b)/2);
(sinx - sin3x)/(1 - cosx) = 0;
sinx - sin3x = 0;
sin3x - sinx = 0;
2sin((3x - x)/2) * cos((3x + x)/2) = 0;
2sinx * cos2x = 0;
[sinx = 0;
[cos2x = 0;
[x = πk, k ∈ Z;
[2x = π/2 + πk, k ∈ Z;
[x = πk, k ∈ Z;
[x = π/4 + πk/2, k ∈ Z.
3. Пересечение с областью допустимых значений:
{x ≠ 2πk, k ∈ Z;
{[x = πk, k ∈ Z;
{[x = π/4 + πk/2, k ∈ Z;
[x = π + 2πk, k ∈ Z;
[x = π/4 + πk/2, k ∈ Z.
ответ: π + 2πk; π/4 + πk/2, k ∈ Z.
2х+6=8
2x=8-6
2x=2
x=2:2
x=1
2.
-2х-3=1
-2x=1+3
-2x=4
x=-4:2
x=-2
3.
-5х-9=-6
-5x=-6+9
-5x=3
x=-3:5
x=-0,6
4.
-4х+4=-6
-4x=-6-4
-4x=-10
x=-10:(-4)
x=2,5
5.
-5х-1=4
-5x=4+1
-5x=5
x=-5:5
x=1
6.
-4х+8=-7
-4x=-7-8
-4x=-15
x=-15:(-4)
x=3,75
7.
10х+1=6х
10x-6x=-1
4x=-1
x=-1:(4)
x=-0,25