2. Область значений -- выясним позже, при рассмотрении поведения функции
3. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
4. Точки пересечения с осями координат, в т. ч. нули.
x=0 => y=0
f(x)=0 => x=0
5. Области знакопостоянства
Функция может менять знак при переходе через нули или критические точки
Нуль: 0; критическая точка x=1.
В данном случае критическая точка является простой, поэтому при переходе через неё функция меняет знак. А вот нуль -- чётного порядка (4-го) , поэтому при переходе через него функция не меняет знака.
Двигаемся справа налево по числовой оси:
при x>1 y>0
при 0<x<1>2^(2/3) => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает
1<x<2^(2/3)> f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает
---------------------------------------------
При переходе через x=2^(2/3) f'(x) меняет знак с "-" на "+" => имеем локальный минимум x=2^(2/3); y=(4/3)*2^(2/3)
---------------------------------------------
0<x<1> f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает
x<0 => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает
---------------------------------------------
При переходе через x=0 f'(x) меняет знак с "+" на "-" => имеем локальный максимум x=0; y=0
7. Области выпуклости и вогнутости; точки перегиба.
Двигаясь по оси x справа налево и учитывая кратность корней и критической точки, получаем:
x>1 => f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
0<x<1> f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
-2^(1/3)<x<0> f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
---------------------------------------------
При переходе через x=0 f''(x) НЕ меняет знака => x=0 НЕ является точкой перегиба
---------------------------------------------
x<-2(1/3) => f''(x)<0 => f(x) выпукла вверх
---------------------------------------------
При переходе через x=-2^(1/3) f''(x) меняет знак => x=-2^(1/3) является точкой перегиба; y=-2*2^(1/3)
8. Возможные асимптоты.
Вертикальная x=1
Горизонтальных нет, т. к. конечного предела f(x) при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует.
Наклонная: y=x, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, x/(x^3-1) стремится к плюс нулю (соответственно, график приближается к асимптоте сверху)
Небо завжди притягувало людей, таке далеке і загадкове. З деяких пір ми успішно осягаємо загадки космосу, дізнаємося все нову і нову інформацію про зірки, планети і інші об’єкти Всесвіту. Сьогодні відмінність планети від зірки є базовим знанням в астрономії. Різниця між планетою та зіркою Зірка тримається на термоядерних реакціях, що проходять в ній. Планета набагато легше зірки, а також менше в діаметрі. Планети і зірки мають різний хімічний склад, а також температуру — планети набагато холодніші. У зірок немає атмосфери Зірки випромінюють світло, планети на це не здатні. Планети обертаються навколо зірок. Планета — це обертовий астрономічний об’єкт, що має кульоподібну форму, яка має середню за космічними мірками масу. Зірка є небесним тілом, головною ознакою якого є термоядерні хімічні реакції, що протікають всередині нього. Таким чином, зірки світяться завдяки цим реакціям. Природно, всі зірки «за життя»,
Из всех государств Дальнего Востока, именно Япония всегда вызывала наибольший интерес среди искателей приключений и ученых-историков всего мира. Это государство длительное время являлось лишь мифом, который люди пересказывали друг другу. Тем не менее, когда свершилось открытие Японии сказка превратилась в реальность. Следует заметить, что история этой страны, богата и интересна. В мире Япония занимает весомое место, потому что является источником совершенно неповторимой культуры. Помимо того, данное государство является достаточно сильным, с политической и экономической стороны. Такая характеристика формировалась на протяжении нескольких столетий. Более того, можно смело говорить, что сильные черты японского государства, были выкованы в пылу многочисленных битв. Однако, столь мощной Япония была далеко не всегда. Истории известен момент, когда страна восходящего солнца была полностью закрыта от внешнего мира. Этот период длился несколько столетий, но ему был положен конец, что повлекло экономическую эволюцию Японии, и просвещение её нации.
1. Область определения: x не равно 1.
2. Область значений -- выясним позже, при рассмотрении поведения функции
3. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
4. Точки пересечения с осями координат, в т. ч. нули.
x=0 => y=0
f(x)=0 => x=0
5. Области знакопостоянства
Функция может менять знак при переходе через нули или критические точки
Нуль: 0; критическая точка x=1.
В данном случае критическая точка является простой, поэтому при переходе через неё функция меняет знак. А вот нуль -- чётного порядка (4-го) , поэтому при переходе через него функция не меняет знака.
Двигаемся справа налево по числовой оси:
при x>1 y>0
при 0<x<1>2^(2/3) => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает
1<x<2^(2/3)> f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает
---------------------------------------------
При переходе через x=2^(2/3) f'(x) меняет знак с "-" на "+" => имеем локальный минимум x=2^(2/3); y=(4/3)*2^(2/3)
---------------------------------------------
0<x<1> f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает
x<0 => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает
---------------------------------------------
При переходе через x=0 f'(x) меняет знак с "+" на "-" => имеем локальный максимум x=0; y=0
7. Области выпуклости и вогнутости; точки перегиба.
При x, не равном 1:
f''(x) = -(2*(-1)*3x^2)/(x^3-1)^2 - (3*(-2)*3x^2)/(x^3-1)^3 = 6x^2/(x^3-1)^3 * (x^3-1+3) = 6x^2(x^3+2)/(x^3-1)^3
Двигаясь по оси x справа налево и учитывая кратность корней и критической точки, получаем:
x>1 => f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
0<x<1> f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
-2^(1/3)<x<0> f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
---------------------------------------------
При переходе через x=0 f''(x) НЕ меняет знака => x=0 НЕ является точкой перегиба
---------------------------------------------
x<-2(1/3) => f''(x)<0 => f(x) выпукла вверх
---------------------------------------------
При переходе через x=-2^(1/3) f''(x) меняет знак => x=-2^(1/3) является точкой перегиба; y=-2*2^(1/3)
8. Возможные асимптоты.
Вертикальная x=1
Горизонтальных нет, т. к. конечного предела f(x) при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует.
Наклонная: y=x, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, x/(x^3-1) стремится к плюс нулю (соответственно, график приближается к асимптоте сверху)
9. Симметричность графика.
Осей и центров симметрии нет.