4+0+...4(2-n)=2n(3-n)
Док-во: 1) Проверим, что верно n=1: 4=2*1(3-1); 4=2(2); 4=4 -верно
2)Допустим, что верно для n=k, тогда: 4+...+4(2-k)=2k(3-k)
3)Докажем, что верно для n=k+1, тогда 4+...+4(2-(k+1))=2(k+1)(3-(k+1));
4+...+4(2-1-k)=2(k+1)(3-1-k); 4+...+4(1-k)=2(k+1)(2-k) -?
4+...+4(1-k)=2(k+1)(2-k)=> {4+...+4(2-k)}+4(1-k)= то, что находится в {...} заменяем на то, что получили во втором шаге, т.е. на 2k(3-k), получаем
= 2k(3-k)+4(1-k)=6k-2k^2+4-4k= 6k-4k-2k^2+4= 2k-2k^2+4= -(2k^2-2k-4)
Раскладываем квадратное уравнение -(2k^2-2k-4)=0; D=4+32=36=6^2
k1=(2-6)/4=-4/4=-1; k2=(2+6)/4=10/4 => -(2k^2-2k-4)=-2(k-10/4)(k+1)=(-2k+5)(k+1)=
=(5-2k)(k+1)=2(2.5-k)(k+1)
Получается, что неверно, но м.б. я гдн-то ошибся, но в общем такого вида получается док-во
x1+x4=9
x1+x6=8
x2+x5=8
x2+x3=9
x3+x6=6
x4+x7=4
x5+x7=4
Из двух последних уравнений следует, что x4=x5. Тогда из первого и третьего уравнений находим x1=x2+1. Из первого уравнения находим x4=x5=x6+1, а из третьего и четвёртого уравнения следует x3=x4+1=x5+1=x6+2. Из четвёртого и пятого уравнения следует x2=x6+3. Наконец, из первого и шестого уравнений следует Отсюда x2=x1-1, x3=x1-2, x4=x5=x1-3, x6=x1-4, x7=x1-5. Складывая все уравнения системы, получаем 2*x1+2*x2+2*x3+2*x4+2*x5+2*x6+2*x7=2*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7)=2*(x1+x1-1+x1-2+x1-3+x1-3+x1-4+x1-5)=2*(7*x1-18)=9+8+8+9+6+4+4=48, откуда 7*x1-18=48/2=24, 7*x1=42, x1=6 лет - первому сыну. Тогда x2=5, x3=4, x4=x5=3, x6=2, x7=1.
ответ: первому сыну - 6 лет, второму - 5, третьему - 4, четвёртому и пятому - по 3 года, шестому - 2 года, седьмому - 1 год.