Question

Решите уравнения.
1)√10x-1=2+x
2)√x+3-1=x

Answer 1

Давайте решим поставленные уравнения.

1) √10x - 1 = 2 + x

Для начала, давайте избавимся от корня в уравнении. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

(√10x - 1)^2 = (2 + x)^2

Распишем это уравнение:

10x - 2√10x + 1 = 4 + 4x + x^2

Теперь приведем подобные слагаемые в уравнении:

x^2 + 4x - (2√10x + 10x - 3) = 0

Получается квадратное уравнение. Давайте решим его.

Сначала попробуем разложить подкоренное выражение:

-2√10x - 10x + 3 = -2√10x - √(10x) + √(10x) - 10x + 3 = -√(10x)(2 + 1) + √(10x) - 10x + 3

Теперь у нас есть дополнительные слагаемые, которые мы можем объединить:

x^2 + 4x - ((-√(10x)(2 + 1) + √(10x) - 10x + 3)) = 0

x^2 + 4x + (√(10x)(2 + 1) - √(10x) + 10x - 3) = 0

x^2 + 4x + (√(10x)(3) + 10x - √(10x) - 3) = 0

Теперь заменим √(10x) на переменную t:

x^2 + 4x + 3t - t - 3 = 0

x^2 + 4x + 3t - t - 3 = 0

x^2 + 4x - (t - 3) = t

Теперь сделаем магическую замену: t - 3 = u

Тогда:

x^2 + 4x - u = u + 3

x^2 + 4x - u - 3 = u

x^2 + 4x - 3 = 2u

Получили новое уравнение, в котором нет корня. Теперь мы можем решить это уравнение с помощью дополнительной замены.

Пусть z = x + 2

Тогда:

x^2 + 4x - 3 = 2u

(z - 2)^2 + 4(z - 2) - 3 = 2u

z^2 - 4z + 4 + 4z - 8 - 3 = 2u

z^2 - 7 = 2u

Подставляем обратные значения:

z^2 - 7 = 2(t - 3)

z^2 - 7 = 2(t - 3)

z^2 - 7 = 2(u/2)

z^2 - 7 = u

z^2 = u + 7

x + 2 = √(u + 7)

x = √(u + 7) - 2

Теперь давайте найдем значение u, подставив обратные значения:

u = t - 3

u = √(10x) - 3

u + 3 = √(10x)

(u + 3)^2 = 10x

(u + 3)^2/10 = x

Теперь мы можем вернуться к исходному уравнению и решить его.

Финальный шаг:

Окончательный ответ: x = ((u + 3)^2/10) - 2.

2) √(x + 3) - 1 = x

Теперь рассмотрим второе уравнение.

Для начала, давайте избавимся от корня в уравнении. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

(√(x + 3) - 1)^2 = x^2

Распишем это уравнение:

(x + 3) - 2√(x + 3) + 1 = x^2

Теперь приведем подобные слагаемые в уравнении:

x^2 + 2 - (x + 3 + 1 - 2√(x + 3)) = 0

x^2 + 2 - (x + 3 + 1 - 2√(x + 3)) = 0

x^2 + 2 - (x + 3 + 1 - 2√(x + 3)) = 0

x^2 + 2 - x - 3 - 1 + 2√(x + 3) = 0

x^2 - x - 2 - 2√(x + 3) = 0

Теперь решим это уравнение с помощью дополнительной замены.

Пусть z = √(x + 3)

Тогда:

z^2 - z - 2 = 0

(z - 2)(z + 1) = 0

z - 2 = 0 или z + 1 = 0

z = 2 или z = -1

Теперь заменим обратными значениями:

√(x + 3) = 2 или √(x + 3) = -1

x + 3 = 4 или x + 3 = 1

x = 1 или x = -2

Окончательный ответ: x = 1 или x = -2.

Надеюсь, что это решение было понятно и полезно для вас! Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать!