Question

2xy=x^2+2y найти все целые решения.

Answer 1

$2xy=x^2+2y\\x^2-2xy+y^2=y^2-2y\\(x+y)^2=y(y-2)\\x=0\\y^2=y^2-2y\\y=0\\x=a\\(a+y)^2=y^2-2y\\a^2+2ay=-2y\\a^2=-2y(1+a)\\y=-\cfrac{a^2}{2+2a}$
Исходя из этой формулы, для каждого значения а, получаем, что целое решение только одно, $a=x=0, \ y=0$, остальные числа всегда будут иметь дробный вид, аналогично получим общий вид, для у=b:
$y=b\\(x+b)^2=b^2-2b\\x^2+2bx=-2b\\x^2+2bx+2b=0\\D=4b^2-8b\\x=\cfrac{-2b\pm\sqrt{4b^2-8b}}{2}\\b=0\\x=0\\b=2\\x=\cfrac{-4}{2}=-2$
Получаем еще 2 целых решения: $x=0, y=b=0, y=b=2, x=-2$
Остальные числа будут иметь дробный вид