Question

При каких значениях параметра а корни уравнения х^3+ax^2+48x-27=0 составляют прогрессию

Answer 1

Можно решить эту задачу
I Первый как известно корни уравнения связаны между собой По  теореме Виета , следующими условиями. Пусть корни данного уравнения равны $x_{1},x_{2},x_{3}$
Теперь сами условию 
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=a\\ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2} x_{3}=48\\ x_{1}x_{2}x_{3}=27\\ \\ tak\ kak\ korni\ sostovlayut\ geom\ prog!\\ x_{1}\\ x_{2}=x_{1}*q\\ x_{3}=x_{1}*q^2\\\\ x_{1}^3*q^3=27\\ x_{1}*q=3\\ x_{2}=3\\$
то есть второй корень равен 3.
Теперь решим систему , затем найдем параметр а если он один
$3x_{1}+x_{1}x_{3}+3x_{3}=48\\ 3x_{1}x_{3}=27\\ \\ x_{1}=\frac{18}{\sqrt{133}+13}\\ x_{3}=\frac{\sqrt{133}+13}{2}\\ \\ a=\frac{18}{\sqrt{133}+13}+\frac{\sqrt{133}+13}{2}+3=16\\ a=16\\$
 Очень страшные корни получились , НО ПРОВЕРИМ НАШИ КОРНИ НА ВЕРНОСТЬ!
ЕСЛИ ОНИ СОСТАВЛЯЮТ ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИЮ ТО ОНИ ДОЛЖНЫ УДОВЛЕТВОРИТЬ ТАКОМУ СООТНОШЕНИЮ 
$\frac{x_{3}}{x_{2}}=\frac{x_{2}}{x_{1}}\\ \frac{\frac{\sqrt{133}+13}{2}}{3}=\frac{3}{\frac{18}{\sqrt{133}+13}}\\ verno\\$
ответ при а=16 

Второй
пусть наши корни равны 
$x_{1}=y\\ x_{2}=yq\\ x_{3}=yq^2\\ \\ togda\\ (x_{1}-y)(x_{2}-yq)(x_{3}-yq^2)=0\\$
Если открыть и решим систему приравнять каждый  элемент соответствующий другому элементу 
то есть 
$-q^3y^3+q^3xy^2+q^2xy^2+qxy^2-q^2x^2y-qx^2y-x^2y+x^3=0\\ \\ q^3*y^2*x+q^2*y^2*x+q*y^2*x=48x\\ -q^2*y*x^2-qy*x^2-y*x^2=ax^2\\ -q^3*y^3=-27\\$
получим тот же ответ