Question

Перевод: при каких значениях параметра а уравнение имеет два разных корня? украинский перевод: при яких значеннях параметра а рівняння має два різні кореня?

Answer 1

$\sqrt{x^{2}+18x+81}= \sqrt{(x+9)^{2}}=|x+9|$
$\sqrt{x^{2}10x+25}= \sqrt{(x-5)^{2}}=|x-5|$
$\sqrt{2x+15}*(|x+9|-|x-5|-a)=0$

ОДЗ: x≥-7.5

Произведение равно 0, если:
1) $\sqrt{2x+15}=0$
x=-7.5 - удовлетворяет ОДЗ, не зависит от а.

Нужно найти, при каких а х≠-7.5. Рассмотрим равенство 0 второго множителя:

2) $|x+9|-|x-5|-a=0$
2.1) $x+9 \geq$
$x-5 \geq$
$x+9-(x-5)-a=0$

$x \geq 5$
$x+9-x+5-a=0$, a=14

Не подходит под условие, т.к. будет БОЛЬШЕ чем 2 корня (решением будет являться множество решений: х≥5)

2.2) $x+9 \geq$
$x-5\ \textless \ 0$
$x\ \textgreater \ -7.5$
$x+9-(5-x)-a=0$

$-7.5\ \textless \ x\ \textless \ 5$
$2x+4-a=0$, $x= \frac{a-4}{2}$

$-7.5\ \textless \ \frac{a-4}{2}\ \textless \ 5$
$-15\ \textless \ a-4\ \textless \ 10$
$-11\ \textless \ a\ \textless \ 14$

2.3) $x+9\ \textless \ 0$
$x-5 \geq 0$
$x\ \textgreater \ -7.5$
нет пересечений, т.е. нет решений

2.4) $x+9\ \textless \ 0$
$x-59\ \textless \ 0$
$x\ \textgreater \ -7.5$
нет пересечений, т.е. нет решений

ответ: два различных корня будет, если:
х=-7.5 (не зависит от а)
-7.5<x<5 при a∈(-11;14)

Answer 2

√(2x+15)*(√(x+9)²-√(x-5)²)=a*√(2a+15)
√(2x+15)*(|x+9|-|x-5|)=a*√(2x+15)
ОДЗ 2x+15≥0⇒2x≥-15⇒x≥-7,5⇒x∈[-7,5;∞)
1)x=-7,5
0*(9-5)=a*0
a∈(-∞;∞)
2)x≠-7,5
|x+9|-|x-5|=a
a)-7,5<x<5
x+9+x-5=a
2x+4=a
x=(a-4)/2
-7,5<(a-4)/2<5
-15<a-4<10
-11<a<14
b)x≥5
x+9-x+5=a
a=14
ответ
1)x=-7,5  a∈(-∞;∞)
2)x∈(-7,5;5)    a∈(-11;14)
3)x∈[5;∞) a=14