В правильной треугольной пирамиде высота основания равна h, боковые рёбра наклонены к основанию под углом α. Найти объём пирамиды.
===========================================================
В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. Вершина такой пирамиды проецируется в центр основания. Центр правильного треугольника является точка О - точка пересечения бисссектрис, медиан и высот. СН = h , ∠ACB = αВ ΔАВС: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.СО:ОН = 2:1 ⇒ СО = 2•СН/3 = 2h/3В ΔСАН: sin60° = CH/AC ⇒ AC = CH/sin60° = CH/(√3/2) = 2h/√3В ΔСМО: tgα = MO/CO ⇒ MO = CO•tgα = 2h•tgα/3V пир. = (1/3)•Sabc•MO = (1/3) • (AC²•√3/4) • MO = (1/3) • (2h/√3)² • (√3/4) • (2h•tgα/3) = 2√3•h³•tgα/27ОТВЕТ: V = 2√3•h³•tgα/27
Пусть х см- сторона квадрата, тогда диагональ х + 3 см. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следует, что
(х +3)2 = х2 + х2
Х2 + 6х +9 = 2х2
Х2 + 6х + 9 – 2х2 = 0
- х2 + 6х +9 = 0 ( умножим на -1)
Х2 – 6х – 9 = 0
Д = в2 – 4ас=36-4*(-9)*1 =0
Д = 0 следует, что уравнение имеет 1 корень
Х = - в/2а = 6/2 = 3
Х = 3 следует, что сторона квадрата равна 3 см, а диагональ х + 3 = 3+3=6 см.
ответ: 6 см