Окружность, вписанная в правильный многоугольник, и окружность, описанная около него, имеют общий центр, причем, так как стороны многоугольника - касательные для вписанной окружности, её радиус является высотой равнобедренного треугольника соединяющего центр с вершинами описанного многоугольника. (см. рисунок).
На рисунке О - центр окружностей, ОА=ОВ=R=8, ОН=r=4√3. Треугольник ОНВ прямоугольный. Sin∠OAH=ОН:ОА=4√3:8=√3/2 - это синус 60°. Следовательно, в равнобедренном треугольнике углы при АВ=60°, ⇒ ∠АОВ=60°, а ∆ АОВ - равносторонний. Сторона данного многоугольника АВ=8. Угол АОВ - центральный, делит окружность на 360°:60°=6 равных углов, противолежащих каждой стороне многоугольника. ⇒ Данный многоугольник имеет 6 сторон.
Радиус описанного круга=abc/4S Нужно найти основу. Проведем высоту ВК из вершины В к основе АС, которая в равнобедренном треугольнике и медиана и биссектриса. тогда угол АВК=α/2. Используем тригонометрические соотношения. Синус=противоположный катет/гипотенуза. sin α/2=AK/a ⇒AK=sin α/2*a. Так как АК еще и медиана, то АК=КС, АС=2АК=2 sin α*a. Площадь может быть рассчитана по формуле= AB*BC*sin α. Так как АВ=ВС=а, то S=a² *sin α, значит R= (a*a*2sinα*a)/(4*a² *sin α)=(a³*2sinα)/(a²*4sinα)=a/2 Площадь круга = πR² =(a/2)²π=(a²/4)*π
Окружность, вписанная в правильный многоугольник, и окружность, описанная около него, имеют общий центр, причем, так как стороны многоугольника - касательные для вписанной окружности, её радиус является высотой равнобедренного треугольника соединяющего центр с вершинами описанного многоугольника. (см. рисунок).
На рисунке О - центр окружностей, ОА=ОВ=R=8, ОН=r=4√3. Треугольник ОНВ прямоугольный. Sin∠OAH=ОН:ОА=4√3:8=√3/2 - это синус 60°. Следовательно, в равнобедренном треугольнике углы при АВ=60°, ⇒ ∠АОВ=60°, а ∆ АОВ - равносторонний. Сторона данного многоугольника АВ=8. Угол АОВ - центральный, делит окружность на 360°:60°=6 равных углов, противолежащих каждой стороне многоугольника. ⇒ Данный многоугольник имеет 6 сторон.