Для начала, давайте сначала вспомним, что такое медианы треугольника. Медианы - это отрезки, соединяющие вершину треугольника со средними точками противоположных сторон. В данном случае, медианы AD и BE - это отрезки, соединяющие вершины треугольника ABC с серединами сторон BC и AC соответственно.
Теперь, нам нужно выразить векторы AB, BC и CA через векторы AD и BE.
Начнем с вектора AB. Вектор AB - это разность координат точки A и точки B. Вспомним, что медиана AD является отрезком, соединяющим вершину A и середину стороны BC. Также, мы знаем, что вектор AD равен a. Поэтому, мы можем сказать, что вектор AB будет равен сумме вектора AD и половины вектора BC. То есть:
AB = AD + 1/2 * BC
Теперь перейдем к вектору BC. По определению медианы, если мы возьмем половину вектора BC и сдвинем его на начало вектора AB, мы получим вектор AD. Это означает, что можно записать:
1/2 * BC = AD
Теперь мы можем найти вектор BC, выразив его через вектор AD:
BC = 2 * AD
Наконец, перейдем к вектору CA. Вспомним, что медиана BE является отрезком, соединяющим вершину B и середину стороны AC. Мы знаем, что вектор BE равен b. Таким образом, вектор CA будет суммой вектора BE и половины вектора AB. Мы можем записать:
CA = BE + 1/2 * AB
Но мы уже нашли вектор AB через векторы AD и BC, поэтому мы можем заменить его в уравнении:
CA = BE + 1/2 * (AD + 1/2 * BC)
CA = BE + 1/2 * AD + 1/4 * BC
Используя выражение для вектора BC через вектор AD, мы можем продолжить упрощение:
CA = BE + 1/2 * AD + 1/4 * (2 * AD)
CA = BE + 1/2 * AD + 1/2 * AD
CA = BE + AD
Таким образом, мы выразили векторы AB, BC и CA через векторы AD и BE:
Теперь, нам нужно выразить векторы AB, BC и CA через векторы AD и BE.
Начнем с вектора AB. Вектор AB - это разность координат точки A и точки B. Вспомним, что медиана AD является отрезком, соединяющим вершину A и середину стороны BC. Также, мы знаем, что вектор AD равен a. Поэтому, мы можем сказать, что вектор AB будет равен сумме вектора AD и половины вектора BC. То есть:
AB = AD + 1/2 * BC
Теперь перейдем к вектору BC. По определению медианы, если мы возьмем половину вектора BC и сдвинем его на начало вектора AB, мы получим вектор AD. Это означает, что можно записать:
1/2 * BC = AD
Теперь мы можем найти вектор BC, выразив его через вектор AD:
BC = 2 * AD
Наконец, перейдем к вектору CA. Вспомним, что медиана BE является отрезком, соединяющим вершину B и середину стороны AC. Мы знаем, что вектор BE равен b. Таким образом, вектор CA будет суммой вектора BE и половины вектора AB. Мы можем записать:
CA = BE + 1/2 * AB
Но мы уже нашли вектор AB через векторы AD и BC, поэтому мы можем заменить его в уравнении:
CA = BE + 1/2 * (AD + 1/2 * BC)
CA = BE + 1/2 * AD + 1/4 * BC
Используя выражение для вектора BC через вектор AD, мы можем продолжить упрощение:
CA = BE + 1/2 * AD + 1/4 * (2 * AD)
CA = BE + 1/2 * AD + 1/2 * AD
CA = BE + AD
Таким образом, мы выразили векторы AB, BC и CA через векторы AD и BE:
AB = AD + 1/2 * BC
BC = 2 * AD
CA = BE + AD