у наиб = у(4) = 61
у наим = y(1) = -20
Пошаговое объяснение:
Функция
y = x³ + 3x² - 9x - 15
Производная функции
y' = 3x² + 6x - 9
Найдём точки экстремумов
y' = 0
3x² + 6x - 9 = 0
или
x² + 2x - 3 = 0
D = 2² + 4 · 3 = 16 = 4²
x₁ = 0.5(-2 - 4) = -3;
x₂ = 0.5 (-2 + 4) = 1
Точки экстремумов
х₁ = -3 и х₂ = 1
Поскольку на промежутке
х ∈ (-3; 1) производная y' < 0, то в точке х₁ = -3 имеет место локальный максимум, а в точке х₂ = 1 локальный минимум
у max = y(-3) = (-3)³ + 3 · (-3)² - 9 · (-3) - 15 = 12
y min = y(1) = 1³ + 3 · 1² - 9 · 1 - 15 = -20
Найдём значения функции на краях интервала х∈ [-4; 4]
y(-4) = (-4)³ + 3 · (-4)² - 9 · (-4) - 15 = 5
у(4) = 4³ + 3 · 4² - 9 · 4 - 15 = 61
Сравнивая значения функции на краях заданного интервала и экстремальные значения функции, получаем
у наиб = у(4) = 61
у наим = у min = y(1) = -20
y' = (4x(x^2-4) - 4x^3) / (x^2-4)^2 = (-16x) / (x^2-4)^2,
y'' = (-16*(x^2-4)^2+16x*2*(x^2-4)*2x) / (x^2-4)^4 = (-16x^4+128x^2-256+64x^4-256x^2) / (x^2-4)^4 = (48x^4-128x^2-256) / (x^2-4)^4,
(48x^4-128x^2-256) / (x^2-4)^4 = 0.
Ищем корни знаменателя:
(x^2-4)^4 = 0,
x^2-4 = 0,
x1 = 2, x2 = -2.
Ищем корни числителя:
48x^4-128x^2-256 = 0,
3x^4 - 4x^2 - 16 = 0,
Пусть t = x^2, тогда
3t^2 - 4t - 16 = 0,
D = 16+192 = 208
t1 = (4+4√13) / 6
t2 = (4-4√13) / 6
x3 = √t1, x4 = -√t1,
x5 = √t2, x6 = -√t2,