Question

Докажите, что при любом натуральном n, большем 1,выражение делится на 264

Answer 1

264=33*8

Докажем, что выражение $7^{2n}-4^{2n}-297$ кратно 33 и 8.

Преобразуем: $7^{2n}-4^{2n}-297=49^n-16^n-33*9=(49-16)(49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33\cdot (49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9)$

То есть $7^{2n}-4^{2n}-297$ кратно 33.

Рассмотрим второй множитель, состоящий из нескольких слагаемых $(49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33\cdot (49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9)$. Все слагаемые, которые содержат множитель 16 в той или иной степени, кратны 8.

Обратимся к тем слагаемым, которые не содержат такого множителя, то есть к разности $49^{n-1}-9$.

Преобразуем $49^{n-1}-9=7^{2(n-1)}-9=((8-1)^2)^{n-1}-(8+1)=(8^2-2\cdot8+1)^{n-1}-(8+1)=64^{n-1}-16^{n-1}+1^{n-1}-8-1=64^{n-1}-16^{n-1}-8$. Каждое из алгебраических слагаемых делится на 8, значит, разность $49^{n-1}-9$ также кратна 8.

Следовательно, множитель $(49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33\cdot (49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9)$ кратен 8.

Таким образом выражение $7^{2n}-4^{2n}-297$ кратно 33 и 8, то есть кратно 264, ч.т.д..